Расчет конструкций переменной толщины методом наискорейшего спуска

Аннотация

В статье обсуждается методика расчёта элементов конструкций переменной толщины. Такие конструктивные элементы описываются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, для реализации которых необходимо иметь надёжный метод расчёта, позволяющий получить достаточно точное решение. Наиболее эффектив­ным методом для расчёта таких конструкций является метод наискорейшего спуска, разработанный Л.В. Канторовичем. В рамках этой статьи идея метода изложена на примере ре­шения задач изгиба балки и пластинки переменной толщины.

Приведена последовательность расчёта конструкции пере­менной толщины МНС на примере статически неопределимой балки, где в качестве начального приближения использовалось уравнение изгиба балки постоянного поперечного сечения. Затем этот метод был обобщён на более сложную двумерную конструкцию - пластинку переменной толщины. Была решена проблема построения начального приближения при решении дифференциального уравнения в частных производных. В каче­стве примера была рассмотрена квадратная в плане пластинка, шарнирно опёртая по контуру. Результаты расчёта сравнивались с результатами, полученными методом конечных разностей.

При решении конкретных задач методом наискорейшего спуска было выявлено его принципиальное отличие от прямых методов, таких как, например, Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галёркина, которое заключается в том, что последовательные приближения при реше­нии задач получаются не в априорно выбранной форме, а в форме, определяемой самой задачей. В МНС решение корректируется качественно в процессе реализации метода, а при решении за­дачи вариационными методами мы выбираем аппроксимирующую функцию и тем самым задаём конфигурацию решения.

Использование МНС позволяет получать конечные форму­лы для определения напряжённо деформируемого состояния конструкций переменной толщины, что позволит оперативно осуществлять их вариантное проектирование.